Projekt

Projekt badawczy


CIĄGŁOŚĆ I LICZBY RZECZYWISTE

Eudoxos – Dedekind – Conway


Przedstawiamy rozwój pojęcia ciągłości poczynając od Elementów Euklidesa, przez klasyczne teksty z XIX i XX wieku, po najnowszą matematykę.

 


1. W matematyce i filozofii greckiej modelem ciągłości (kontinuum) był odcinek. Wzięty jako pojedynczy obiekt był on charakteryzowany przez Arystotelesa jako to, co „jest podzielne na części, które są podzielne”. Takie rozumienie odcinka odnajdujemy też w pierwszych księgach Elementów. Do istotnej zmiany doszło w XIX wieku, kiedy to modelem ciągłości stał się odcinek liczb rzeczywistych [0,1] oraz ciało liczb rzeczywistych (R,+,.,0,1,<). 

W księdze V Elementów, gdzie rozwijana jest teoria proporcji „wielkości”, znajdujemy inny opis odcinka. Charakteryzowany jest tam mianowicie nie pojedynczy odcinek, ale struktura odcinków (M,+,<).
W monografii „Euklides, Elementy, Księga V – VI. Tłumaczenie i komentarz” ukazujemy teorię wielkości jako teorię aksjomatyczną. Pokazujemy, jak w toku historii struktura ta była modyfikowana i jak ostatecznie została doprowadzona do pojęcia ciała uporządkowanego. Najważniejsze etapy tego procesu stanowią: arytmetyka odcinków z Geometrii Kartezjusza, prace O. Stolza, H. Webera i O. Holdera poświęcone strukturze, „wielkości”, oraz artykuł D. Hilbera „O pojęciu liczby”, zawierający pierwszą aksjomatykę liczb rzeczywistych. 

Dalszy ciąg tej historii odnajdujemy w teorii ciał rzeczywiście domkniętych E. Artina i O. Schreiera, natomiast za jej zwieńczenie uznajemy liczby Conway’a, które tworzą największe ciało uporządkowane.


2. W klasycznych XIX- wiecznych konstrukcjach liczb rzeczywistych pochodzących od E. Heinego, G. Cantora, R. Dedekinda liczy rzeczywiste były wiązane ze strukturą, w której można udowodnić w „sposób ścisły” podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego. Pojęcie kontinuum zyskało wówczas nowe, nieformalne znaczenie: kontinuum to struktura, w której można rozwijać rachunek różniczkowy. Przyjmując tę perspektywę, ukazujemy struktury porządkowo-algebraiczne, które pojawiły się w ramach analizy niestandardowej i stanowią bazę analizy matematycznej rozwijanej bez pojęcia granicy. Są to w pierwszym rzędzie liczby hiperrealne, a następnie tak zwany hyperfinite grid oraz oś Hartonga-Reeba.


3. Odrębny wątek historii ciągłości stanowi pojęcie ciągłości funkcji. W filozofii Arystotelesa przestrzeń czas i ruch były ciągłe i to ciągłe w ten sam sposób, czyli jako „podzielne na części, które są podzielne”. W matematyce współczesnej ciągłość czasu i przestrzeni wiąże się z  ciągłością liczb rzeczywistych, natomiast ciągłość funkcji (ruchu) jest definiowana inaczej niż ciągłość ciała uporządkowanego i nie zależy od ciągłości dziedziny funkcji. Pokazujemy, że rozejście się antycznego i współczesnego ujęcia ciągłości funkcji ma swój początek w Geometrii Kartezjusza.